Sistem Numerasi

A.    GAMBARAN SEJARAH PURBAKALA DARI  MATEMATIKA

Pada mulanya di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang sungai-sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia sepanjang sungai Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga, bangsa Cina sepanjang sungai Huang Ho dan Yang Tze. Bangsa-bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian untuk itu diperlukan pengetahuan praktis, yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersama-sama.

Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai tersebut. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki. Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.

Awal Bilangan

Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya.

Bilangan dahulunya digunakan sebagai simbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol diantaranya.

1.      Symbol bilngan bangsa Yunani Kuno (tahun 3000 SMåååå)

2.      Simbol bilangan bangsa Babilonia (tahun 2000 SM)

3.      Simbol bilangan Yunani Kuno Attick (tahun 600 SM)

4.      Simbol bilangan bangsa Maya (300 SM)

5.      Simbol bilangan bangsa Cina (200 SM)

6.      Simbol bilangan bangsa Romawi (tahun 100 SM)

7.      Simbol bilangan Hindu Arab (tahun 20 SM)

A.    PERKEMBANGAN SISTEM NUMERASI

Sistem numerasi adalah sekumpulan lambang dan aturan pokok untuk menuliskan bilangan. Lambang yang menyatakan suatu bilangan disebut numeral/ lambang bilangan. Banyaknya suku bangsa di dunia menyebabkan banyaknya sistem numerasi yang berbeda. Oleh karena itu suatu bilangan dapat dinyatakan dengan bermacam-macam lambang, tetapi suatu lambang menunjuk hanya pada satu bilangan.

Beberapa sistem numerasi yang dikenal yaitu:

1.      Sistem numerasi Bangsa Mesir Kuno

Matematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak peradaban helenistik matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan Babilonia yang membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian matematika di Mesir berlanjut di bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa Arab menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.

Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-kadang disebut juga “Lembaran Ahmes” berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM.

Lembaran itu adalah manual instruksi bagi pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian, pembagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan sistem numerasi sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika dan geometri. Lambangnya yaitu

2.      Sistem numerasi bangsa Babilonia

Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban helenistik. Dinamai “Matematika Babilonia” karena peran utama kawasan Babilonia sebagai tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik, Matematika Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika Yunani. Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting pengkajian Matematika Islam. Bertentangan dengan langkanya sumber pada Matematika Mesir, pengetahuan Matematika Babilonia diturunkan dari lebih daripada 400 lempengan tanah liat yang digali sejak 1850-an. Lempengan ditulis dalam tulisan paku ketika tanah liat masih basah, dan dibakar di dalam tungku atau dijemur di bawah terik matahari. Beberapa di antaranya adalah karya rumahan.

Bukti terdini matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun peradaban kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi sejak tahun 3000 SM. Dari kira-kira 2500 SM ke muka, bangsa Sumeria menuliskan tabel perkalian pada lempengan tanah liat dan berurusan dengan latihan-latihan geometri dan soal-soal pembagian. Jejak terdini sistem bilangan Babilonia juga merujuk pada periode ini.

Matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60). Dari sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk satu jam, dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan detik dan menit pada busur lingkaran yang melambangkan pecahan derajat. Juga, tidak seperti orang Mesir, Yunani, dan Romawi, orang Babilonia memiliki sistem nilai-tempat yang sejati, di mana angka-angka yang dituliskan di lajur lebih kiri menyatakan nilai yang lebih besar, seperti di dalam sistem desimal.

3.      Sistem numerasi Yunani Kuno Attic

Seperti halnya di Mesir dan Mesopotamia, bangsa Yunani pun mengembangkan system numerasinya sendiri. System numerasi yang digunakan bangsa Yunani ada dua macam, yaitu attic dan ionia. System numerasi attic dilambangkan sederhana, dimana angka satu sampai empat dilambangka dengan lambang tongkat (misalnya dua dengan II). Untuk system numerasi ionia, yang digunakan setelah system numerasi attic, dipakai di Yunani pada awal abad ke 8 SM. System ini menggunakan alphabet Yunani sebagai lambang bilangan. Seperti 1 dengan α (alpha), dua dengan β (beta), tiga dengan γ (gamma), empat dengan δ (delta) dan lima dengan ε (epsilon). Matematika Yunani baru mulai berkembang pada abad keenam sebelum masehi yang dipelopori oleh Thales dan Phytagoras.

Angka loteng digunakan oleh orang Yunani kuno , mungkin dari abad ke-7 SM. Mereka juga dikenal sebagai angka Herodianic karena mereka pertama kali dijelaskan dalam sebuah naskah abad ke-2 oleh Herodes . Mereka juga dikenal sebagai angka acrophonic karena simbol-simbol berasal dari huruf pertama dari kata-kata yang mewakili simbol:, lima sepuluh, seratus, ribu dan sepuluh ribu. Lihat angka Yunani dan acrophony .

Desimal	Simbol	Yunani angka
1	Ι	-
5	Π	πέντε
10	Δ	δέκα
100	Η	ἑκατόν
1000	Χ	χίλιοι / χιλιάς
10000	Μ	μύριον

Penggunaan Η untuk 100 mencerminkan tanggal awal dari sistem penomoran: Η ( ETA ) dalam abjad Attic awal mewakili suara / h /. Di kemudian, "klasik" Yunani, dengan penerapan alfabet ionik seluruh mayoritas Yunani, surat eta datang untuk mewakili suara e panjang sementara aspirasi kasar tidak lagi ditandai. ^{[1] [2]} Itu bukan ' t sampai Aristophanes Byzantium memperkenalkan tanda aksen berbagai selama periode Helenistik bahwa asper spiritus mulai untuk mewakili / h /. Jadi kata untuk seratus awalnya akan pernah ditulis ΗEΚΑΤΟΝ, dibandingkan dengan ἑκατόν ejaan sekarang lebih akrab. Modern Yunani , di / h / fonem telah lenyap sama sekali, tetapi hal ini tidak berpengaruh pada ejaan dasar. Berbeda dengan lebih akrab modern Angka Romawi sistem, sistem Attic hanya berisi bentuk aditif. Dengan demikian, jumlah 4 ditulis ΙΙΙΙ, tidak ΙΠ. Angka yang mewakili 50, 500, dan 5.000 adalah komposit dari pi (sering kali dalam bentuk lama, dengan kaki kanan pendek) dan versi kecil dari kekuasaan yang berlaku sepuluh. Sebagai contoh, adalah lima kali sepuluh ribu.

Alphabet Attic klasik terdiri dari 24 akrab (modal) huruf Yunani: Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ, Ι, Κ, Λ, Μ, Ν, Ξ, Ο, Π, Ρ , Σ, Τ, Υ, Φ, Χ, Ψ, Ω. Ia memiliki tujuh vokal: Α, Ε, Η (panjang e), Ι, Ο, Υ, Ω (o panjang). Sisanya adalah konsonan. Bentuk pertama dari Yunani ditulis bukan abjad Yunani karena kemudian menjadi dikenal, tetapi suku kata yang dikenal sebagai Linear B , dimana satu karakter berdiri untuk kombinasi konsonan dan vokal. Penggunaan pertama dari apa yang menjadi klasik abjad Yunani masih belum diketahui. Pada saat itu dibuktikan dalam penggunaan umum di abad ke-8 SM ^[5] itu sudah dibagi ke dalam berbagai barat dan timur, dari mana alfabet Etruscan / Latin dan abjad Yunani datang kemudian masing-masing. Apa yang sekarang disebut sebagai alfabet Yunani pada awalnya alfabet Phoenician dipinjam mengeja kata Yunani, dengan beberapa awalnya Semit huruf konsonan - seperti aleph (Yunani Alpha = A), dia (Yunani Epsilon = E), dan 'ayin (Yunani Omicron = O) - digunakan untuk mewakili vokal Yunani. Penciptaan huruf vokal yang benar adalah kontribusi linguistik yang paling revolusioner dari Yunani untuk pengembangan alfabet. (Untuk bentuk-bentuk awal huruf, yang lengkap surat, dan prasasti pertama, lihat artikel abjad Yunani .) Seperti kegunaan alfabet menjadi jelas, varietas lokal (kadang-kadang disebut "epichoric" ^[6] ) mulai dipakai. Alfabet Attic awal masih tidak membedakan antara vokal panjang dan pendek (yaitu ε dan η, ο dan ω). Ini tidak memiliki Ψ huruf (psi) dan Ξ (xi), menggunakan ΦΣ dan ΧΣ gantinya. Huruf kecil (α, β, γ, dll) dan subskrip sedikitpun (penemuan abad pertengahan) masih jauh di masa depan. Digamma (tidak lagi digunakan pada periode Klasik) berdiri untuk W. Sementara itu di Ionia di Aegea, baru ionik bentuk alfabet Attic datang menjadi ada. Ini yang membedakan o panjang dan pendek (Ω dan Ο) dan berhenti menggunakan Η (eta) untuk menandai pernapasan kasar (yaitu H suara). Sebaliknya ia menciptakan tanda untuk e panjang dengan itu, menjaga Ε surat untuk e pendek. Para digamma putus, dan Ψ dan Ξ muncul, membawa alfabet Attic klasik untuk bentuk 24-huruf. Dengan 403 SM, yang sekarang dialami internasional negara-kota Athena telah dirasakan kebutuhan untuk membakukan alfabet, sehingga secara resmi mengadopsi alfabet ionik pada tahun itu. Kota-kota lainnya telah mengadopsinya. ^{[ rujukan? ]} Ketika warga biasa membaca prasasti kuno Yunani dan literatur read berpendidikan Yunani, apa yang mereka lihat adalah alfabet huruf besar semua ionik: Α, Β, Γ, Δ, dll Dengan huruf kecil waktu, subskrip sedikitpun, tanda aksen, tanda pernapasan kasar atau halus lebih huruf, dan tanda baca muncul dalam bahasa Yunani ditulis pada abad pertengahan, tulisan Yunani Attic belum diproduksi oleh penutur asli untuk beberapa abad. Attic literatur kuno yang dipublikasikan hari ini sehingga membuat penggunaan sejumlah non-kuno fitur. Pembaca modern kurang informasi mungkin berpikir bahwa apa yang mereka lihat pada halaman sistem menulis persis seperti orang Yunani kuno menggunakannya dalam Yunani Klasik, tapi itu benar-benar kuno Yunani sebagai ditulis oleh abad pertengahan Byzantium ahli Taurat.

4.      Sistem numerasi Bangsa Maya

Suku Maya dari Amerika Tengah dipahami konsep ratusan notasi nol dan tempat tahun sebelum awal penggunaan dikenal di India dan Islam abad pertengahan. Ketika orang Eropa tiba di Amerika, mereka menemukan bahwa sempoa telah digunakan di kedua Meksiko dan Peru.

Sistem nomor Maya dalam beberapa hal sangat mirip dengan kita tapi bukannya sistem desimal kita miliki saat ini, Maya menggunakan sistem vigesimal untuk perhitungan mereka - sebuah sistem yang didasarkan pada 20 daripada 10. Ini berarti bahwa bukan 1, 10, 100, 1 000 dan 10 000 sistem matematika kita, Maya yang digunakan 1, 20, 400, 800 dan 16 000. Basis dua puluh juga digunakan dalam kalender mereka, yang dikembangkan oleh astronom untuk melacak waktu. Mereka menggunakan notasi dengan bar dan titik sebagai "singkatan" untuk menghitung. Sebuah dot berdiri untuk satu, bar berdiri selama lima shell diwakili nol. Angka-angka dapat ditulis dari bawah ke atas atau dari kanan ke kiri. Sebagian besar waktu mereka digabungkan dengan simbol kepala mereka: mesin terbang Maya indah (dibahas dan ditampilkan kemudian).

Beberapa nomor dianggap lebih suci daripada yang lain seperti 20 karena mewakili jumlah jari tangan dan kaki seorang manusia bisa diandalkan. Lain nomor khusus berusia lima tahun, karena hal ini mewakili jumlah digit pada tangan atau kaki. Tiga belas adalah suci karena jumlah dewa Maya asli. Lain angka keramat adalah 52, yang mewakili beberapa tahun dalam "bundel", sebuah unit mirip dalam konsep ke abad kita.

5.      Sistem numerasi bangsa Cina

Sistem angka Jepang adalah sistem nama nomor yang digunakan dalam bahasa Jepang .Angka-angka Jepang dalam menulis seluruhnya didasarkan pada angka Cina dan pengelompokan sejumlah besar mengikuti Cina tradisi pengelompokan oleh 10.000. Dua set pengucapan untuk angka ada di Jepang: salah satu didasarkan pada Sino-Jepang (on'yomi) pembacaan dari karakter Cina dan yang lainnya         didasarkan pada Jepang kotoba Yamato (kata asli, kun'yomi bacaan). Ada dua cara penulisan angka dalam bahasa Jepang, di angka Arab (1, 2, 3) atau di angka Cina(一,二,三). Angka Arab lebih sering digunakan  dalam menulis horisontal , dan angka Cina lebih umum dalam menulis vertikal .

 

6.      Sistem numerasi bangsa Romawi

Sistem numerasi romawi ini menggunakan basis 10 . pada dasarnya , sistem romawi ini merupakan sistem penjumlahan dan sistem perkalian. Jika simbol-simbol sebuah angka mempunyai nilai yang menurun dari kiri ke kanan,maka nilai angka tersebut dijumlahkan . sebaliknya jika sebuah angka mempunyai nilai yang naik dari kiri ke kanan,maka nilai angka tersebut dikurangkan.dalam hal pengurangan.

Sebuah angka tidak pernah ditulis lebih dari 2 simbol,misalnya IV,IX,XI,CD,CM.

Contoh ;

CX = 100+10  = 110 (dari kiri ke kanan nilainya menurun,jadi dijumlahkan).  XC=100-10             =  90 (dari kiri ke kanan nilainya naik,jadi dikurangkan).

7.      Sistem numerasi bangsa Hindu Arab

Peradaban Hindu diperkirakan terjadi sekitar 2500 SM. Bangsa yang tinggal di lembah aliran sungai Indus itu sudah memiliki sistem menulis, menghitung, menimbang, dan mengukur. Tentu terusan-terusan yang mereka gali untuk pengairan memerlukan mesin dan dasar matematika. Kira-kira tahun 1500 SM bangsa itu diusir oleh bangsa Arya yang datang dari Asia Tengah. Selama kira-kira 1000 tahun bangsa Arya menyempurnakan tulisan Hindu dan bahasa Sansekerta. Beberapa penulis agama juga menulis sejarah matematika karena dalam pembangunan altar Budha direntangkan tali yang menunjukkan pengenalan tigaan Pythagoras.

Sekitar 326 SM Alexander Besar menduduki India Barat Laut dan menjadikan ini sebagai propinsi Macedonia yang dikepalai seorang gubernur. Setelah Alexandria Besar meninggal, Chandragupta Maurya mengambil kekuasaan dari gubernur dan mendirikan dinasti Maurya dengan raja Asoka yang paling terkenal dari dinasti itu. Raja Asoka mendirikan pilar-pilar besar di kota-kota penting pada masa itu dan pilar-pilar tersebut ditulis dengan sejenis lambang-lambang bilangan.

Kurang lebih 300 SM bangsa Hindu sudah mengenal angka-angka dengan menggunakan bilangan dengan basis 10 tetapi belum mengenal bilangan nol. Bukti adanya simbol bilangan adalah ditemukannya pada beberapa batuan/prasasti yang didirikan di India sekitar 250 SM oleh Raja Asoka. Bukti lainnya, simbol bilangan ditemukan di antara potongan catatan-catatan 100 SM pada dinding gua di sebuah bukit dekat Poona dan dalam beberapa prasasti yang diukir pada gua di Nasik pada tahun 200. Bukti ini tidak menggunakan bilangan nol dan tidak menggunakan sistem posisi. Diperkirakan sejak tahun 500, mereka menggunakan sistem posisi dan sudah mengenal bilangan nol.

Pada tahun 711, tentara Arab menyerang sampai Spanyol dan mendudukinya beberapa ratus tahun. Kerajaan Islam yang demikian luas kemudian terpecah dua menjadi Kalifah Barat berpusat di Cordova (775-1495) di bawah kekuasaan dinasti Ummayah dan Kalifah Timur di Bagdad di bawah kekuasaan dinasti Abbasiah (749-1258). Salah seorang dari dinasti Abbasiah ialah Kalif Al-Mansyur (754-775) membawa karya-karya Brahmagupta dari India ke Bagdad kira-kira tahun 766 dan diterjemahkan ke dalam bahasa Arab. Dari karya itulah angka Hindu masuk ke dalam Matematika Arab.

Kira-kira tahun 825, seorang ahli Matematika Persia bernama Al-Khawarizmi menulis buku tentang Aljabar yang antara lain berisi tentang sistem bilangan Hindu secara lengkap. Kemudian buku ini diterjemahkan ke dalam bahasa Latin pada abad 12 dan buku-bukunya berpengaruh di Eropa. Terjemahan inilah yang memperkenalkan sistem bilangan Hindu-Arab ke Eropa.